Trường hợp 1 chiều

Trường hợp 1 chiều có thể dễ dàng được chứng minh thông qua định lý giá trị trung gian.

Đặt g {\displaystyle g} là một hàm thực, liên tục, lẻ trên một vòng tròn; g {\displaystyle g} cũng có thể được coi là một hàm thực, liên tục, lẻ và có chu kỳ bằng 1 trên đường thẳng thực. Chọn x {\displaystyle x} tùy ý. Nếu g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} thì ta xong. Nếu không, không mất tính tổng quát, giả sử g ( x ) > 0. {\displaystyle g(x)>0.} Thế thì g ( − x ) < 0. {\displaystyle g(-x)<0.} Do đó, theo định lý giá trị trung gian, tồn tại một điểm y {\displaystyle y} giữa x {\displaystyle x} và − x {\displaystyle -x} sao cho g ( y ) = 0 {\displaystyle g(y)=0} .

Trường hợp tổng quát - chứng minh tô pô đại số

Giả sử rằng h : S n → S n − 1 {\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}} là một hàm liên tục lẻ với n > 2 {\displaystyle n>2} (trường hợp n = 1 {\displaystyle n=1} được xử lý ở trên, trường hợp n = 2 {\displaystyle n=2} có thể được xử lý bằng lý thuyết phủ sơ cấp). Do hàm là lẻ, ta có một hàm liên tục cảm sinh h ′ : R P n → R P n − 1 {\displaystyle h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}} giữa các không gian xạ ảnh thực, tạo ra một đồng cấu cấu trên các nhóm cơ bản. Đồng cấu này là một đẳng cấu. Theo định lý Hurewicz, phép đồng cấu vành cảm sinh trên đối đồng điều với hệ số trong F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} ,

F 2 [ a ] / a n + 1 = H ∗ ( R P n ; F 2 ) ← H ∗ ( R P n − 1 ; F 2 ) = F 2 [ b ] / b n , {\displaystyle \mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2})\leftarrow H^{*}(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},}

gửi b {\displaystyle b} đến a {\displaystyle a} . Nhưng b n = 0 {\displaystyle b^{n}=0} và a n ≠ 0 {\displaystyle a^{n}\neq 0} , mâu thuẫn.[2]

Trường hợp tổng quát - chứng minh toán học tổ hợp

Định lý Borsuk – Ulam có thể được chứng minh bằng bổ đề Tucker trong toán học tổ hợp.[1][3][4]